突发奇想在虫部落分享一些自己的学习经验和感悟

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2017 发表于 2017-6-24 18:36:48
       做一个学习经验交流贴,以后会持续更新

楼主大二专业是材料物理,因此固体物理必然就是必学的了,学习过程中当然是颇有趣味,然则又时而会遇到难懂的问题,我想这也是大多数人学习这门课程的痛楚吧。于是想到在虫部落写下自己的一些感想心得,一方面与大家分享,另一方面也可以方便自己以后查看回顾,以后还会写一些本专业其它的一些内容:P,由于楼主也只是一个学习者的存在,肯定会存在许多误解,恳请大家指出,并且楼主也很欢迎留言改错哦,这样也可以给自己纠错嘛!

@:此外本帖还附了一份固体理论书籍,李正中大大写的哦,简直就是居家必备:$,比直接看英文的好书要稍微轻松一点,不过这本书还是比较难的,供大家学习用,高清的哦。由于楼主等级不够,文件无法上传于是就分享一个百度云的链接: https://pan.baidu.com/s/1bpfCWmN 密码: 87uw


今天就讨论一下固体物理关于能带理论里面的k以及晶格振动里面q(实际上k和q都是到空间意义也很相近啦)的取值以及范围和分布密度问题;

~首先我们来看能带理论里面的k的问题

在近自由电子近似里面,通过对自由电子进行微扰,我们得到了禁带宽度 = Vn,然后,出现禁带这样的能量突变的地方为n*PI/a,然后第一布里渊区的范围是-PI/a~PI/a(然后,还有第二、三、四。。。。布里渊区),并且k空间的k的取值密度(也就是k的分布密度)为,一维L/(2*PI),二维S/(2*PI)^2,三维V/(2*PI)^3,如果要考虑k空间的态的密度那就得在上面的基础上再乘以2了,因为一个k对应有两个态;

~然后我们来看看晶格振动里面的q

实际上呢q与k都是倒空间,但是两者还是有点区别的;在晶格振动里面q的取值范围以及取值的决定因素还是不同于能带理论的,能带理论的k的取值等是在近自由电子近似里面用周期场(微扰自由电子波函数)的处理过程中得到的,然后晶格振动是在处理原子链的振动问题时得到的,比如说一维单原子链的q的取值范围就是-PI/a ~ PI/a,然后取值情况是q = (2*PI*h)/(N*a),q的分布密度为L/(2*PI),一维双原子链的q的取值范围是-PI/(2*a) ~ PI/(2*a),q的分布密度肯定也是L/(2*PI)了

一维单原子链的q的范围是这样推出来的



首先振动的解的形式为un = A*exp^i(wt-qna),n对应的就是原子链上的原子的序数,然后对于两个相邻的原子的n相差1,那么相位因子就相差qa,然后我们知道这种相位因子变为2PI的整数倍对实际就没有影响,因此我们就将它限定在-PI ~ PI里面,于是-PI < qa < PI,然后 -PI/a < q < PI/a,它的取值就是根据 u(r) = A*exp^i(wt-qr),由周期性边界条件(波恩-冯卡曼边界条件)得到,r增加Na振动是不变的,于是有exp^iqNa = 1,然后 q = 2*PI*h/Na

然后对于一维双原子链



有两个方程,试探解为u[2*n]= A*exp^i(wt-q*2na),u[2*n+1]=A*exp^i(wt-q*(2n+1)),考虑一个方程,一个原胞含有两个原子,两个原子间距为a,那么相邻原胞也就是n+1与n了,它们的同一个原子位相因子相差2qa,令 -PI < 2qa < PI,就得到 -PI/2a < q < PI/2a,它的取值同样是根据 u(r) = A*exp^i(wt-qr) ,只不过r是增加2Na振动是不变的,因为实际上是r增加N个原胞嘛,然后双原子链的就是距离2Na,于是得到 exp^iq2Na = 1  然后就得到 q = PI*h/Na

这个时候我们要注意无论是单原子链还是双原子链,它们的q的分布密度实际上都是L/2*PI,一维单原子链,我们可以看到-PI/a < q < PI/a,共2PI/a的q的范围,q取值为q = 2*PI*h/Na,密度就是((2PI/a)/(2*PI/Na))/(2PI/a) = N/(2PI/a) = Na/(2PI),而我们根据L/(2PI),L取值为Na,得到的结果是一样的;对于一维双原子链,-PI/2a < q < PI/2a,共PI/a,的q的范围,q取值为 q = PI*h/Na,密度就是((PI/a)/(PI/Na))/(PI/a) = N/(PI/a) = Na/(PI),而我们根据L/(2PI),因为是双原子链,N个原胞的长度为N2a,于是得到的结果为2Na/(2PI)=Na/(PI),结果是一样的,所以我们说q空间的密度还是满足一维L/(2PI),二维S/(2PI)^2,三维V/(2PI)^3,这是普适的

我们可以看到能带理论里面的k的取值(n*PI/a)是从微扰的过程得到的,并且它没有管是双原子还是单原子,因为反正都是对自由电子进行周期场的微扰,不同的原子是在势场有区别,但是微扰处理的过程它不会影响k的取值情况改变的,于是对于一维都是k=(n*PI/a),我在想对于其它维,应该各个维度是独立的,也就是说二维就是kx=(n*PI/a),ky=(n*PI/b),三维就是kx=(n*PI/a),ky=(n*PI/b),kz=(n*PI/c)

但是对于晶格振动的q的取值以及取值范围,我们就要注意了,它的取值范围是根据原子链相邻原子的位相因子的差别如一维就是qa,然后二维是2qa,这个位相因子差我们把它限制在2PI范围以内也就是-PI~PI,那么就得到q的取值范围了,然后取值就是根据平面波公式u(r) = A*exp^i(wt-qr),考虑r在经过N个原胞以后振动的不变(也就是波恩-冯卡曼周期性边界条件),那么一维单原子链N个原胞后就是r变化Na,一维双原子链N个原胞后r就变化N2a,那么单原子链就是exp^iqNa = 1,双原子链就是exp^iq2Na = 1,于是单原子链q取值就是 q = 2*PI*h/Na ,双原子链q取值就是 q = PI*h/Na,它们的密度(q的取值数除以q的取值范围)也可以算出来,明显是不一样的,单原子链是 Na/2PI,双原子链是Na/PI,但是我们要注意到的是它们的q的分布密度大小不一样,但更普遍的计算方法从L/(2PI)这个角度来看是一样的哦,都可以用这个公式计算,计算出来的结果是一样的

另外还要注意晶格振动的q的范围比如说一维单原子链在-PI/a < q < PI/a,那么超出这个范围就没了,但是能带理论里面只是第一布里渊区为-PI/a < k < PI/a,然后k = n*PI/a,的地方出现能量突变,也就是说k 的取值并不限于-PI/a < k < PI/a,超出这个范围还有,这是一个明显的区别

待续。。。停更, :), 我发现在这里分享交流这个专业内容不太合适, 于是决定停下来, 嘿嘿~


我是肉哥爱肉 发表于 2017-6-24 21:37:03
很喜欢你这种知识分享的帖子,虽然我不是物理系的,嘻嘻~希望你能在这遇见和你志同道合的虫友!这样会更开心呢。
沙沙200802 发表于 2021-4-8 16:33:45
楼主的帖子太专业了,虽然我看不懂但是还是要点个大大的赞!

楼主的头像+ +,这个图片是真的太好看了太神奇了(原谅我的无知)。

它就是曼德勃罗集 The Mandelbrot Set,堪称几何学近代最有魅力的几何形图形之一。曼德勃罗集得名于数学家本华·曼德勃罗(Benoît Mandelbrot)。
Zn+1=Z2n+C,曼德勃罗集是所有满足函数值不发散的点C构成的图形,充满了自相似性每一个小部分好像都是整体的缩影。相关图形有朱丽亚集。

讲解视频链接:https://www.bilibili.com/video/BV1UJ411C7gu  
天使中的魔鬼?曼德勃罗集与朱利亚集——最有魅力的几何图形,来自b站Up主妈咪说MommyTalk。

曼德勃罗集合

曼德勃罗集合

部落魂

小无奈 发表于 2017-6-24 19:19:12
发的好,虽然我完全看不懂
yasuo 发表于 2017-6-24 19:25:20
太专业了 有点蒙圈:L

部落魂

小无奈 发表于 2017-6-24 19:44:27
给楼主一个忠告,这种学习的 总结 开一个帖子就好,别开多  影响不好
洋葱 发表于 2017-6-24 21:14:06
完全看不懂:'(,果真隔行如隔山
小丑 发表于 2017-6-24 21:14:08
本帖最后由 小丑 于 2017-6-24 21:21 编辑

学习心得可以写在空间的日志里,查找专业资料的网站也可以在虫部落维基创建词条。话说虫部落维基雷声大雨点小,现在还有人在创建词条吗?
glory 发表于 2017-6-26 09:57:27
看起来很厉害的样子...一脸蒙圈
Yoko 发表于 2017-6-26 10:06:35
在思考,,  编导专业是不是该发个帖跟虫部落的小伙伴聊电影电视综艺啥的(认真脸)。看大家经常发一些怎么获取影视资源的贴,,应该蛮多人会感兴趣的吧2333333
丛林 发表于 2017-6-26 21:51:06
:$好腻害的样子,完全看不懂!  不过知识分享还是不错的,对需要的很有必要。
王加贝 发表于 2017-6-28 22:21:37
完全没看懂;P
飓风861 发表于 2017-6-30 12:05:02
看不懂的我 点赞
昵称称呼吧 发表于 2017-6-30 17:38:37
想法很好 看了一眼 感觉像天书  服气了 大兄弟
light 发表于 2017-6-30 20:55:56
你们我不知道怎么样反正:D我是一脸不明觉厉的样子
学术与生活sky 发表于 6 天前
特别支持啊
liupei249 发表于 4 天前
楼主写的很好~如果能把假设的前提写上就更棒了!
固体物理的确是物理学中相对玄奥,但是也非常有用的一门课。
楼主加油
鹿梦 发表于 4 天前
哈哈哈楼主,你觉得你讲的很清楚,但是我一点儿都看不懂。不过楼主这样认真分享,要继续坚持下去哈
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