突发奇想在虫部落分享一些自己的学习经验和感悟

       做一个学习经验交流贴，以后会持续更新

楼主大二专业是材料物理，因此固体物理必然就是必学的了，学习过程中当然是颇有趣味，然则又时而会遇到难懂的问题，我想这也是大多数人学习这门课程的痛楚吧。于是想到在虫部落写下自己的一些感想心得，一方面与大家分享，另一方面也可以方便自己以后查看回顾，以后还会写一些本专业其它的一些内容:P，由于楼主也只是一个学习者的存在，肯定会存在许多误解，恳请大家指出，并且楼主也很欢迎留言改错哦，这样也可以给自己纠错嘛！

@：此外本帖还附了一份固体理论书籍，李正中大大写的哦，简直就是居家必备:$，比直接看英文的好书要稍微轻松一点，不过这本书还是比较难的，供大家学习用，高清的哦。由于楼主等级不够，文件无法上传于是就分享一个百度云的链接: https://pan.baidu.com/s/1bpfCWmN 密码: 87uw


今天就讨论一下固体物理关于能带理论里面的k以及晶格振动里面q(实际上k和q都是到空间意义也很相近啦)的取值以及范围和分布密度问题；

～首先我们来看能带理论里面的k的问题

在近自由电子近似里面，通过对自由电子进行微扰，我们得到了禁带宽度 = Vn，然后，出现禁带这样的能量突变的地方为n*PI/a，然后第一布里渊区的范围是-PI/a~PI/a(然后，还有第二、三、四。。。。布里渊区)，并且k空间的k的取值密度(也就是k的分布密度)为，一维L/(2*PI)，二维S/(2*PI)^2,三维V/(2*PI)^3,如果要考虑k空间的态的密度那就得在上面的基础上再乘以2了，因为一个k对应有两个态；

～然后我们来看看晶格振动里面的q

实际上呢q与k都是倒空间，但是两者还是有点区别的；在晶格振动里面q的取值范围以及取值的决定因素还是不同于能带理论的，能带理论的k的取值等是在近自由电子近似里面用周期场(微扰自由电子波函数)的处理过程中得到的，然后晶格振动是在处理原子链的振动问题时得到的，比如说一维单原子链的q的取值范围就是-PI/a ~ PI/a，然后取值情况是q = (2*PI*h)/(N*a)，q的分布密度为L/(2*PI)，一维双原子链的q的取值范围是-PI/(2*a) ~ PI/(2*a)，q的分布密度肯定也是L/(2*PI)了

一维单原子链的q的范围是这样推出来的



首先振动的解的形式为un = A*exp^i(wt-qna)，n对应的就是原子链上的原子的序数，然后对于两个相邻的原子的n相差1，那么相位因子就相差qa，然后我们知道这种相位因子变为2PI的整数倍对实际就没有影响，因此我们就将它限定在-PI ~ PI里面，于是-PI < qa < PI,然后 -PI/a < q < PI/a,它的取值就是根据 u(r) = A*exp^i(wt-qr),由周期性边界条件(波恩-冯卡曼边界条件)得到，r增加Na振动是不变的，于是有exp^iqNa = 1,然后 q = 2*PI*h/Na

然后对于一维双原子链



有两个方程，试探解为u[2*n]= A*exp^i(wt-q*2na),u[2*n+1]=A*exp^i(wt-q*(2n+1))，考虑一个方程，一个原胞含有两个原子，两个原子间距为a，那么相邻原胞也就是n+1与n了，它们的同一个原子位相因子相差2qa，令 -PI < 2qa < PI,就得到 -PI/2a < q < PI/2a,它的取值同样是根据 u(r) = A*exp^i(wt-qr) ，只不过r是增加2Na振动是不变的，因为实际上是r增加N个原胞嘛，然后双原子链的就是距离2Na，于是得到 exp^iq2Na = 1  然后就得到 q = PI*h/Na

这个时候我们要注意无论是单原子链还是双原子链，它们的q的分布密度实际上都是L/2*PI，一维单原子链，我们可以看到-PI/a < q < PI/a，共2PI/a的q的范围，q取值为q = 2*PI*h/Na，密度就是((2PI/a)/(2*PI/Na))/(2PI/a) = N/(2PI/a) = Na/(2PI),而我们根据L/(2PI)，L取值为Na，得到的结果是一样的；对于一维双原子链，-PI/2a < q < PI/2a，共PI/a,的q的范围，q取值为 q = PI*h/Na，密度就是((PI/a)/(PI/Na))/(PI/a) = N/(PI/a) = Na/(PI)，而我们根据L/(2PI)，因为是双原子链，N个原胞的长度为N2a，于是得到的结果为2Na/(2PI)=Na/(PI)，结果是一样的，所以我们说q空间的密度还是满足一维L/(2PI)，二维S/(2PI)^2，三维V/(2PI)^3，这是普适的

我们可以看到能带理论里面的k的取值(n*PI/a)是从微扰的过程得到的，并且它没有管是双原子还是单原子，因为反正都是对自由电子进行周期场的微扰，不同的原子是在势场有区别，但是微扰处理的过程它不会影响k的取值情况改变的，于是对于一维都是k=(n*PI/a)，我在想对于其它维，应该各个维度是独立的，也就是说二维就是kx=(n*PI/a)，ky=(n*PI/b)，三维就是kx=(n*PI/a)，ky=(n*PI/b)，kz=(n*PI/c)

但是对于晶格振动的q的取值以及取值范围，我们就要注意了，它的取值范围是根据原子链相邻原子的位相因子的差别如一维就是qa，然后二维是2qa，这个位相因子差我们把它限制在2PI范围以内也就是-PI~PI，那么就得到q的取值范围了，然后取值就是根据平面波公式u(r) = A*exp^i(wt-qr)，考虑r在经过N个原胞以后振动的不变(也就是波恩-冯卡曼周期性边界条件)，那么一维单原子链N个原胞后就是r变化Na，一维双原子链N个原胞后r就变化N2a，那么单原子链就是exp^iqNa = 1，双原子链就是exp^iq2Na = 1，于是单原子链q取值就是 q = 2*PI*h/Na ，双原子链q取值就是 q = PI*h/Na，它们的密度(q的取值数除以q的取值范围)也可以算出来，明显是不一样的，单原子链是 Na/2PI，双原子链是Na/PI，但是我们要注意到的是它们的q的分布密度大小不一样，但更普遍的计算方法从L/(2PI)这个角度来看是一样的哦，都可以用这个公式计算，计算出来的结果是一样的

另外还要注意晶格振动的q的范围比如说一维单原子链在-PI/a < q < PI/a，那么超出这个范围就没了，但是能带理论里面只是第一布里渊区为-PI/a < k < PI/a，然后k = n*PI/a，的地方出现能量突变，也就是说k 的取值并不限于-PI/a < k < PI/a，超出这个范围还有，这是一个明显的区别

待续。。。停更, :), 我发现在这里分享交流这个专业内容不太合适, 于是决定停下来, 嘿嘿~

很喜欢你这种知识分享的帖子，虽然我不是物理系的，嘻嘻~希望你能在这遇见和你志同道合的虫友！这样会更开心呢。

楼主的帖子太专业了，虽然我看不懂但是还是要点个大大的赞！

楼主的头像+ +，这个图片是真的太好看了太神奇了（原谅我的无知）。

它就是曼德勃罗集 The Mandelbrot Set，堪称几何学近代最有魅力的几何形图形之一。曼德勃罗集得名于数学家本华·曼德勃罗(Benoît Mandelbrot)。
Zn+1=Z2n+C，曼德勃罗集是所有满足函数值不发散的点C构成的图形，充满了自相似性，每一个小部分好像都是整体的缩影。相关图形有朱丽亚集。

讲解视频链接：https://www.bilibili.com/video/BV1UJ411C7gu  
天使中的魔鬼？曼德勃罗集与朱利亚集——最有魅力的几何图形，来自b站Up主妈咪说MommyTalk。

发的好，虽然我完全看不懂

太专业了 有点蒙圈:L

给楼主一个忠告，这种学习的 总结 开一个帖子就好，别开多  影响不好

完全看不懂:'(，果真隔行如隔山

学习心得可以写在空间的日志里，查找专业资料的网站也可以在虫部落维基创建词条。话说虫部落维基雷声大雨点小，现在还有人在创建词条吗？

看起来很厉害的样子...一脸蒙圈

在思考，，  编导专业是不是该发个帖跟虫部落的小伙伴聊电影电视综艺啥的（认真脸）。看大家经常发一些怎么获取影视资源的贴，，应该蛮多人会感兴趣的吧2333333

:$好腻害的样子，完全看不懂！  不过知识分享还是不错的，对需要的很有必要。

完全没看懂;P

看不懂的我 点赞

想法很好 看了一眼 感觉像天书  服气了 大兄弟

你们我不知道怎么样反正:D我是一脸不明觉厉的样子

特别支持啊

楼主写的很好~如果能把假设的前提写上就更棒了！
固体物理的确是物理学中相对玄奥，但是也非常有用的一门课。
楼主加油

哈哈哈楼主，你觉得你讲的很清楚，但是我一点儿都看不懂。不过楼主这样认真分享，要继续坚持下去哈