老师说，初等数学有漏洞！谁来证明下？

这次分享一个启发思考的初中数学问题，学过高数的虫友可以来活学活用了哈。

记得上初中时，很喜欢的数学老师在讲无限循环小数时说：初等数学其实有漏洞……  老师接着分析了一波，嗯，听来还是蛮有道理的。
我一直对数学极感兴趣，可我们学的东西竟然还有问题，这可是个大新闻啊！  别走，先别忙着奔走相告。听听当时我们老师是怎么分析的：


这个问题困扰着我，直到学了高等数学后，利用极限证明了出来，开心了好一阵。
结论是：初等数学没问题，只是要从高等数学的角度来看。

发帖前上网第一次搜索了这个问题，发现已有很多解答，网络发达还是有很大益处的。所以证明过程我就不贴了。

不过还是欢迎虫友们积极思考，并提供自己的解决思路哈。

注：我觉得最后一张图有点多余，文中删去后，怎么跑去图片附件了……
请问下虫友们这个图片附件怎么去掉啊，在编辑框找了许久都没找到{:5_133:}

szg1140 发表于 2020-3-2 20:56
如果你不能在A和B之间（A和B是实数）插进一个实数，那么A=B。显然0.9999999和1之间没有实数存在。故1可以用 ...

想要严格证明的话，可以参阅以下菲赫金哥尔茨的《微积分学教程（上册）》

极限思想牛逼极了，是量变与质变的关系。法力无边

垂耳的逆旅 发表于 2020-3-7 11:04
可能虫友忘了，你把1/3用除法运算后就是0.3的无限循环哦。

准确来说，0.9999... 是一个序列， 把他用 1/3 * 3  来处理，其实是有点用自证的操作{:5_144:} ，所以错位消除可能是个相对比较合理的描述

附上比较严谨的证明：
0.999…=1？数到底是什么？李永乐老师讲数学公理化

垂耳的逆旅 发表于 2020-3-6 07:26
第一句话可以理解。

第二句有点不解，你的意思是：假设0.9无限循环不等于1，然后将0.9无限循环和1取平均 ...

1.99999999999999除以2不就是等于0.999999999999999吗？所以与我刚才的命题相悖。

垂耳的逆旅 发表于 2020-2-28 11:23
0.3333333333是指的0.3的无限循环，是等于1/3的

说错了，是1/3≈0.3。你那个前提就不对啊。

额。。。我记得学的时候1/3≈0.333333333,你这咋还直等于呢。

Moooooorty 发表于 2020-2-28 10:26
额。。。我记得学的时候1/3≈0.333333333,你这咋还直等于呢。

0.3333333333是指的0.3的无限循环，是等于1/3的

不是，0.33333......=1/3,1 = 0.99999.....
没问题啊

怎么成悖论了，极限的思想

不矛盾啊，1=0.9循环

matlab01 发表于 2020-3-1 09:07
怎么成悖论了，极限的思想

如果你是初中生也能这么想，并且有理有据，那说明你的水平已经不知道高到哪里去了！

那个时候（包括我那位很好的初中数学老师）的一般想法是，0.9再怎么无限循环，照常理，它应该也是小于1的啊，毕竟再怎么循环下去也到不了1。

所以，极限很强大，牛顿、莱布尼兹几位微积分奠基人，以非直观思维创立一门影响深远的学科分支，值得被永远敬仰。

如果你不能在A和B之间（A和B是实数）插进一个实数，那么A=B。显然0.9999999和1之间没有实数存在。故1可以用0.99999999999表示。

szg1140 发表于 2020-3-2 20:56
如果你不能在A和B之间（A和B是实数）插进一个实数，那么A=B。显然0.9999999和1之间没有实数存在。故1可以用 ...

这里的0.99999999我指的是0.9循环

szg1140 发表于 2020-3-2 20:59
想要严格证明的话，可以参阅以下菲赫金哥尔茨的《微积分学教程（上册）》 ...

很厉害的虫友啊，这个插入实数的思路之前到没看到过。

我的思路就是把0.9的无限循环，然后用高等数学的工具——极限，来表示出来，通过求极限即可证明：
0.9的无限循环，这个表示，其实极限就是1！

实数是有多种表示方法的，0.9循环和1实际上只是同一个数的两种不同表示方法。

垂耳的逆旅 发表于 2020-3-3 21:24
很厉害的虫友啊，这个插入实数的思路之前到没看到过。

我的思路就是把0.9的无限循环，然后用高等数学的 ...

两个不等的实数的平均数一定不等于这两个数其中一个，这句话没问题吧。那你试试代入0.999999和1。

szg1140 发表于 2020-3-6 01:15
两个不等的实数的平均数一定不等于这两个数其中一个，这句话没问题吧。那你试试代入0.999999和1。 ...

第一句话可以理解。

第二句有点不解，你的意思是：假设0.9无限循环不等于1，然后将0.9无限循环和1取平均数，然后得到其结果等于1或0.9无限循环，出现悖论，从而证明假设不成立，故0.9无限循环等于1得证？

如果是这个思路，如果不用分数表示0.9无限循环，我想了解，1和0.9无限循环求得的平均数，应该如何跟1或0.9无限循环比较是否相等。

前提:1/3=0.3333333...
这一步怎么来的？推导不严谨
0.999... * 10 = 9.999...，9.999 - 0.999 = 9
9/9=1

照你的写法应该是说，0.333... * 3 = 0.999... 即 1/3 * 3 = 1
所以，0.999... = 1
其实你第一步没证明，0.333... = 1/3
导入这一步其实就相当于 你已经 假定 0.999... = 1 了

琦六七 发表于 2020-3-6 08:34
前提:1/3=0.3333333...
这一步怎么来的？推导不严谨
0.999... * 10 = 9.999...，9.999 - 0.999 = 9

可能虫友忘了，你把1/3用除法运算后就是0.3的无限循环哦。

szg1140 发表于 2020-3-6 18:32
1.99999999999999除以2不就是等于0.999999999999999吗？所以与我刚才的命题相悖。

懂了，反证法，真是一个好方法啊！  

看来我有些杀鸡用牛刀了，用你这个思路给初中生讲解就容易理解了。感谢虫友，又学到一个知识点。

琦六七 发表于 2020-3-9 09:34
准确来说，0.9999... 是一个序列， 把他用 1/3 * 3  来处理，其实是有点用自证的操作 ，所以错 ...

谢谢虫友提供思路，李永乐老师是我也比较喜欢的一个老师。哈哈我大学时想的推导思路，用级数表示然后求和取极限跟这不谋而合了。

szg1140 发表于 2020-3-6 01:15
两个不等的实数的平均数一定不等于这两个数其中一个，这句话没问题吧。那你试试代入0.999999和1。 ...

戴德金分划

matlab01 发表于 2020-3-9 13:42
戴德金分划

哈哈，被发现了。

明显微积分的知识啊，0.99999……无限趋近于1

琦六七 发表于 2020-3-9 09:34
准确来说，0.9999... 是一个序列， 把他用 1/3 * 3  来处理，其实是有点用自证的操作 ，所以错 ...

SURF-
谢谢分享，这个知识点是有趣的呢